周炜良的周炜良簇和周炜良环

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  用周炜良坐标可以对平面曲线和空间曲线进行分类.只要由已知的次数d和亏数g,从非奇异的空间射影曲线的周炜良坐标形成所谓周炜良簇,就能很自然地用有限个拟射影簇将它参数化.

  在射影簇研究上,另一个为人们称道的周炜良引理(ChowLemma),涉及完全簇和射影簇的关系.苏联数学家И.Р.沙法列维奇(ЩaфapeВИЧ)在其名著《代数几何基础》中曾提到这一引理:

  “对于每一个不可约的完全簇X,总有一个射影簇X,使得X和X之间有一双有理同构”.

  周炜良在射影簇方面最著名的工作是提出周炜良环(ChowRing).他于1956年发表的论文“关于代数簇上闭链的等价类”中,提出了射影代数簇上代数闭链的有理等价性的系统理论.大意是:设V是n维射影空间Pn上的代数簇,其上的s维闭链所成的群为G(V,s),与零链等价的闭链成子群Gr(V,s).令Hr(V,s)是二者的商群.将s从1到n作直和,得

  周炜良在Hr(V)上定义一种乘法,使之构成环,这就是著名的周炜良环.它是结合的,交换的,具有单位元.这篇论文由M.F.阿蒂亚(Atiyah)写成文摘刊于美国的《数学评论》.

  周炜良环具有很好的函子性质:设p是两代数簇X,V之间的模射,f:X→V,则V中闭链C的原象f-1(C)也是X中的闭链,且此运算与相截(intersection)和有理等价性能够相容.因此,它是代数几何研究中的一项重要工具.周炜良环在许多情形可以代替上同调环.在证明各种黎曼-罗赫定理时,常用周炜良环去导出陈省身类.著名的韦伊(Weil)猜想的解决,也可使用周炜良环.

  另一个常被引用的结论是所谓周炜良运动定理(Chow’s Mo-ving Lemma):若Y,Z是非奇异拟射影簇X中的两闭链,则必存在与Z有理等价的闭链Z,使Y和Z具有相交性质(inte-rsect property).1970年在奥斯陆举行的代数几何会议上,有专文论述此定理.

  20世纪40年代,A.韦伊(Weil)等开创了阿贝尔簇的研究.他们把代数曲线上的雅可比(Jacobi)簇发展为一般代数流形上的皮卡-阿尔巴内塞(Picard-Albanese)簇理论,将过去意大利学派的含糊结果加以澄清.周炜良对此作了丰富和发展,并推广到特征p域的情形.周炜良在文献[10]中证明对一般射影代数簇都存在雅可比簇.文献[11]和[12]给出了阿贝尔簇的代数系统理论,其中有关可分(separable)、正则(regular)和本原扩张(pri-mary extention)的论述,已成为这一领域的基本文献.

  周炜良还证明了以下结论:“若A是域k上的阿贝尔簇,B是定义在k的准素扩张K上的阿贝尔子簇,那么B也在k上有意义.”S.郎(Lang)称之为周炜良定理.

  周炜良在1957年发表的关于阿贝尔簇的论文也反复被人引用.这一年,普林斯顿大学以数学名家莱夫谢茨的名义举行“代数几何与拓扑”的科学讨论会,韦伊和周炜良都参加了.他们两人在会上宣读的论文密切相关.韦伊证明任何阿贝尔簇都可嵌入射影空间,而周炜良则证明任何齐次簇(不必完备)也可嵌入射影空间。文章不长,但解决得很彻底.

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